سه تایی فیثاغورسی 3-4-5

اعداد فیثاغورسی یا سه‌تایی فیثاغورسی شامل سه عدد طبیعی به صورت (a,b،c) هستند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c که طبیعی‌اند را فیثاغورسی گویند هرگاه a^۲ + b^۲ = c^۲ باشد یا به عبارت ریاضی: { $( a , b , c ) | a 2 + b 2 = c 2 , ( a , b , c ) ∈ N {\displaystyle {(a,b,c)|a^{2}+b^{2}=c^{2},(a,b,c)\in \ N}}$ } ؛ اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث قائم‌ااویه را تشکیل می‌دهند. با توجه به رابطه هر گروه اعداد فیثاغورسی (مثلاً a , b , c) با اعداد فیثاغورسی دیگر می‌توان آن‌ها را به دو گروه تقسیم نمود:

اعداد فیثاغورسی اول

ابتدا قبل از شرح دسته‌بندی توجه داشته باشید که یک سه‌تایی فیثاغورسی که سه عدد آن هیچ مقسوم‌علیه مشترک (به جز ۱) نداشته باشند را سه‌تایی فیثاغورسی اول می‌نامیم. مانند (3,4،5) که بر هیچ عدد مشترکی بخش‌پذیر نیستند سه‌تایی فیثاغورسی اول‌اند. اما سه‌تایی (6,8،10)، اعداد آن فیثاغورسی هستند ولی اول نیستند چراکه هر سه بر ۲ بخش‌پذیرند.

اعداد فیثاغورسی متشابه

شما با داشتن یک سه‌تایی فیثاغورسی اول مانند a,b،c و با ضرب آن در یک عدد طبیعی k و دلخواه، یک سه‌تایی فیثاغورسی ka,kb,kc دیگر خواهید داشت وبه همین ترتیب سه‌تایی‌های فیثاغورسی دیگر، که همگی با هم متشابه و متشابه اعداد فیثاغورسی اولی خواهند بود و در حقیقت مثلث حاصل از آن‌ها نیز متشابه‌اند.
به عنوان نمونه اعداد فیثاغورسی (6,8،10) , (9,12,15) , (12,16,20) , همگی متشابه بوده و مضاربی از اعداد فیثاغورسی اول (3,4،5) می‌باشند.

فهرست اعداد

در زیر فهرستی از اعداد فیثاغورسی کوچکتر از ۱۰۰ نوشته شده‌است:

(۳، ۴، ۵)،(۶٬۸٬۱۰)، (۵، ۱۲، ۱۳)، (۷، ۲۴، ۲۵)، (۸، ۱۵، ۱۷)، (۹، ۴۰، ۴۱)، (۱۱، ۶۰، ۶۱)، (۱۲، ۳۵، ۳۷)، (۱۳، ۸۴، ۸۵)، (۱۶، ۶۳، ۶۵)، (۲۰، ۲۱، ۲۹)، (۲۸، ۴۵، ۵۳)، (۳۳، ۵۶، ۶۵)، (۳۶، ۷۷، ۸۵)، (۳۹، ۸۰، ۸۹)، (۴۸، ۵۵، ۷۳)، (۶۵، ۷۲، ۹۷)، (۱۶۹٬۱۲۰٬۱۱۹)