گزارش‌های ریاضی

ببین و بگو!

1

در سطر بالا چه می‌بینید؟ جواب:

ی دونه یک (یکی یک)

11

حالا در سطر بالا چی می‌بینید؟ جواب:

دو تا یک

21

حالا مجددا، در سطر بالا چی می‌بینید:

ی دونه دو، و ی دونه یک

1211

الگویی که جمله بعدی رو بدست می‌آوریم، ساده است؛ 

ببین و بگو

در عدد بالا،1211 چی می‌بینید، از سمت چپ که بخونیم:

ی دونه 1 (11)

ی دونه 2 (12)

دو تا 1  (21)

پس جمله بعدی دنباله می‌شود:

111221

و به همین ترتیب، بقیه جملات بدست می‌آید:

312211

13112221

1113213211

.

دنباله بالا چند ویژگی دارد که بعضی از آن‌ها جالب و اثباتشون سخت هست:

• 1. دنباله و الگوی بالا بازگشتی هست، یعنی جمله فعلی رو می‌توان توسط جمله (جملات) قبلی بدست آورد.
• 2. فقط رقم‌های 1و2و3و در جملات بالا ظاهر می‌شود. یعنی اگر بقیه جملات الگو را بنویسیم، رقم‌های 6و5و4و. هرگز ظاهر نمی‌شود.( اثبات کمی سخت، ولی در حد دانش‌آموز دبیرستانی هست، به  کمک برهان خلف)
• 3. طول دنباله (تعداد رقم‌های آن) افزایش پیدا می‌کند.(واضح هست). ولی اگر چند جمله‌ی دیگر دنباله را بنویسیم. یک الگو در مورد رشد طول دنباله پیدا می‌شود.

جان کانوی، ریاضیدان معروف انگلیسی، ثابت کرده است که این رشد طول، به صورت یک تصاعد هندسی با قدر نسب r=1.30357726.9.0 هست. که این عدد خودش گنگ و ریشه‌ی مثبت و حقیقی چندجمله‌ای درجه‌ی 71،! زیر هست:

مکان تنها ریشه‌ی مثبت حقیقی معادله بالا را، در شکل زیر می‌بینید:

کانوی در واقع ثابت کرد که بلوک‌های تشکیل دهنده هر جمله دنباله بعد ار مدتی ثابت و یکسان می‌شوند.

جمله اول دنباله بالا با یک شروع شد، در واقع فرقی نمی‌کند با 1 یا 2 یا 3و. شروع شود. دنباله دوباره، تناوبی می‌شود.

حال به عنوان تمرین دنباله را از 2 شروع کنید و ببینید و بگویید:

2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, 311311222112, .

منبع:

1.http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html

2. کتاب ریاضی تکمیلی هفتم

فرض کنید دو اینه را کنار هم قرار می‌دهیم، اگر زاویه بین دوآینه α باشد، قاعدتا باید 2π/α شکل تولید شود.

ولی اگر دقیق نگاه کنیم بسته به اینکه عدد 2π/α عددی گویا، گنگ یا صحیح باشد، شرایط متفاوتی پیش می‌آید.

• اگر هم که زاویه صفر باشد، بینهایت تصویر تشکیل می‌شود.

به الگوی اعداد زیر دقت کنید.

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .

چه نظمی مشاهده می کنید.

اولین بار که هر عدد ظاهر شده است، آن را قرمز رنگ کرده ایم.

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .

حال این اعداد را که قرمز شده اند، از الگو حذف کنید، چه باقی می ماند؟ چه میشود؟

, 1, , 1, 2, , 1, 2, 3, , 1, 2, 3, 4, , 1, 2, 3, 4, 5, , .

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5,.

همان الگوی اولی ظاهر شد.!!

یعنی با حدف اولین مشاهده ی هر عدد ، دوباره همان الگوی اولی ظاهر شد.

تمرین. چند عدد دیگر این الگو را بدست آورید.

مثال دیگر

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, 2, 7, 4, 9, 1, 6, 3, 8, 5, 10, 2, 7, 4, 9, 1, 6, 11, 3, 8, 5, 10, 2, 7, 12, 4, 9, 1, 6, 11, 3, 8, 13, 5, 10, 2, 7, 12, 4, 9, 1, 14, 6, 11, 3, 8, 13, 5, 10, 2, 15, 7, 12, 4, 9, 1, 14, 6, 11, 3, 16, 8, 13, 5, 10, 2, 15, 7, 12, 4, 17, 9, 1,

اعداد فیثاغورسی یا سه‌تایی فیثاغورسی شامل سه عدد طبیعی به صورت (a,b،c) هستند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c که طبیعی‌اند را فیثاغورسی گویند هرگاه a^۲ + b^۲ = c^۲ باشد یا به عبارت ریاضی: {$(\; a\; ,\; b\; ,\; c\; )\; |\; a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; c\; 2\; ,\; (\; a\; ,\; b\; ,\; c\; )\; \in \; \; N\; \{\backslash displaystyle\; \{(a,b,c)|a^\{2\}+b^\{2\}=c^\{2\},(a,b,c)\backslash in\; \backslash \; N\}\}$} ؛ اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث قائم‌ااویه را تشکیل می‌دهند. با توجه به رابطه هر گروه اعداد فیثاغورسی (مثلاً a , b , c) با اعداد فیثاغورسی دیگر می‌توان آن‌ها را به دو گروه تقسیم نمود:

حدس اردیش-استراوس

حدس اردیش-استراوس در سال ۱۹۴۸ توسط دو ریاضیدان به همین نام ارائه شد؛ این حدس بیان می‌کند هر عدد گویا به‌صورت ۴ بر روی n را می‌توان به‌صورت جمع سه کسر مصری به شکل زیر نوشت:»

به عنوان مثال:

 درستی این حدس توسط کامپیوتر تا عدد ۱۰^۱۷ تائید شده است؛ اما تاکنون اثباتی برای آن وجود ندارد.

شاید صورت ساده‌ی  مساله ،شما را نیز به فکر حل آن‌ یا طرح سؤال حل‌نشده‌ای به نام خودتان انداخته باشد. مطمئنا روزی این مسائل حل خواهند شد، حتی اگر این تلاش همچون قضیه‌ی اخر فرما ۳۵۸ سال طول بکشد. اما در انتها همواره سؤال‌های حل‌نشده‌ای هستند که ذهن پرسشگر انسان را به چالش بکشند.

اکنون که مطمئن هستیم برای nهای بزرگ تا 10¹⁷ حدس تائید شده، سعی کنید کسرهای زیر را به صورت جمع سه کسر مصری بنویسید:(با کمک کامپیوتر)

4/41

4/37

4/101

4/201

با الگوی اعداد فیبوناچی آشنا هستید.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.

شاید برایتان جالب باشد که یک فرمول جمع و جور با اعداد رادیکالی برای این الگو وجود دارد. عدد nام الگو برابر است

با مقدار دادن به n به ازای اعداد کوچک، درستی فرمول را بررسی کنید.